Cały zestaw wzorów ze statystyki — od podstawowych miar po regresję i indeksy. Pod każdym wzorem znajdziesz krótkie wyjaśnienie, skąd się bierze, oraz legendę symboli.
Pierwszy krok analizy: porządkujemy surowe dane i opisujemy, jak często pojawiają się poszczególne wartości.
Częstość względna to udział danej wartości (lub klasy) w całej zbiorowości — liczebność cząstkową dzielimy przez liczebność całości. Suma wszystkich udziałów zawsze daje 1 (czyli 100%).
Dystrybuanta mówi, jaki ułamek obserwacji jest mniejszy lub równy danej wartości. Powstaje przez narastające sumowanie częstości względnych (skumulowane udziały), więc rośnie od 0 do 1.
Liczby, które wskazują „środek” rozkładu — typową, przeciętną wartość cechy.
Suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę. Dla danych pogrupowanych każdą wartość „ważymy” jej liczebnością. W szeregu przedziałowym nie znamy dokładnych wartości, więc bierzemy środek przedziału — stąd przybliżenie.
Odwrotność średniej arytmetycznej z odwrotności. Stosowana, gdy uśredniamy wielkości względne (np. prędkości, wydajności) — tam zwykła średnia zawyżałaby wynik.
Pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu wartości. Naturalna miara przeciętnego tempa zmian (procesy mnożące się, np. stopy wzrostu w kolejnych okresach).
Wartość dzieląca uporządkowaną zbiorowość na dwie równe połowy — 50% obserwacji jest poniżej, 50% powyżej. Dla danych przedziałowych interpolujemy liniowo wewnątrz przedziału, w którym dystrybuanta przekracza 0,5.
Uogólnienie mediany: wartość, poniżej której leży udział p obserwacji. Wzór to liniowa interpolacja w przedziale, w którym skumulowana częstość po raz pierwszy osiąga p.
Wartość, która występuje najczęściej. W szeregu przedziałowym leży w klasie o największej liczebności; wzór koryguje jej położenie względem sąsiednich (bardziej lub mniej licznych) klas.
Wspólny „budulec” wielu miar — średnie potęg wartości (zwykłe) lub odchyleń od średniej (centralne).
Średnia z k-tych potęg wartości. Dla k=1 daje zwykłą średnią, a M₂ jest składnikiem wariancji (wzór skrócony).
Średnia z k-tych potęg odchyleń od średniej. M₂′ to wariancja (rozproszenie), M₃′ mierzy asymetrię, a M₄′ — spłaszczenie rozkładu.
Jak bardzo wartości różnią się od średniej. Miary klasyczne korzystają ze wszystkich obserwacji.
Najprostsza miara rozproszenia — odległość między skrajnymi wartościami. Bardzo wrażliwa na wartości odstające.
Średnia z kwadratów odchyleń od średniej. Kwadrat sprawia, że odchylenia nie znoszą się (suma zwykłych odchyleń = 0) i mocniej karze duże odstępstwa. Wzór skrócony „średnia kwadratów minus kwadrat średniej” bywa wygodniejszy w rachunkach.
Wersja stosowana, gdy z próby wnioskujemy o populacji. Dzielimy przez n−1 (a nie n), bo średnia z próby „zużywa” jeden stopień swobody — bez tej poprawki wariancję systematycznie zaniżalibyśmy.
Pierwiastek z wariancji — sprowadza miarę rozproszenia z powrotem do jednostek cechy, więc jest łatwiej interpretowalne niż wariancja.
Względna miara rozproszenia — odchylenie standardowe odniesione do średniej. Bezwymiarowa, więc pozwala porównać zmienność cech wyrażonych w różnych jednostkach lub o różnych poziomach.
Oparte na kwartylach, a nie na średniej — dlatego odporne na wartości odstające.
Szerokość przedziału, w którym mieści się środkowe 50% obserwacji. Pomija skrajne 25% z dołu i z góry, więc nie reaguje na wartości odstające.
Połowa rozstępu ćwiartkowego — przeciętne odchylenie kwartyli skrajnych od mediany. Pozycyjny odpowiednik odchylenia standardowego.
Względna miara rozproszenia w wersji pozycyjnej — odchylenie ćwiartkowe odniesione do mediany. Używamy go, gdy w danych są wartości odstające.
Czy rozkład jest symetryczny, czy „przechylony” w jedną stronę.
Średnia z sześcianów odchyleń. Nieparzysta potęga zachowuje znak: dodatnie odchylenia (długi ogon w prawo) dają wynik dodatni, ujemne — ujemny. Stąd mierzy kierunek asymetrii.
Trzeci moment centralny standaryzujemy przez sześcian odchylenia standardowego, by uzyskać miarę bezwymiarową. A>0 → ogon w prawo (prawostronna), A<0 → ogon w lewo, A≈0 → symetria.
Mierzymy, czy i jak silnie dwie cechy zmieniają się razem.
Średnia z iloczynów odchyleń obu cech. Gdy wartości powyżej średniej w X idą w parze z wartościami powyżej średniej w Y, iloczyny są dodatnie → dodatnia kowariancja (cechy rosną razem). Jej wadą jest zależność od jednostek.
Kowariancja podzielona przez iloczyn odchyleń standardowych — standaryzacja, która usuwa wpływ jednostek i zamyka wynik w przedziale [−1, 1]. |r| bliskie 1 oznacza silną zależność liniową, r≈0 — jej brak.
Korelacja Pearsona policzona na rangach (pozycjach) zamiast surowych wartości. Mierzy zależność monotoniczną (niekoniecznie liniową) i jest odporna na wartości odstające. d_i to różnica rang danej obserwacji.
Przejście od opisu danych do rachunku prawdopodobieństwa — model losowy zjawiska.
Dla zmiennej skokowej przypisuje każdej możliwej wartości jej prawdopodobieństwo. Ponieważ któraś z wartości na pewno wystąpi, prawdopodobieństwa muszą sumować się do 1.
Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość nie większą niż x. Dla zmiennej skokowej sumujemy prawdopodobieństwa wszystkich wartości do x włącznie — funkcja rośnie schodkowo od 0 do 1.
Dla zmiennej ciągłej prawdopodobieństwo pojedynczego punktu wynosi 0, więc opisujemy je gęstością. Prawdopodobieństwo to pole pod wykresem gęstości na danym przedziale; całe pole pod krzywą równa się 1.
Średnia ważona możliwych wartości, gdzie wagami są prawdopodobieństwa — „przeciętny” wynik w długiej serii powtórzeń. To odpowiednik średniej arytmetycznej dla modelu losowego.
Oczekiwany kwadrat odchylenia od wartości oczekiwanej — miara rozproszenia rozkładu. Druga postać (moment drugi minus kwadrat średniej) jest wygodniejsza do liczenia.
Przesuwamy rozkład o wartość oczekiwaną i skalujemy przez odchylenie standardowe. Powstała zmienna U ma E(U)=0 i D(U)=1 — to pozwala korzystać z jednej tablicy rozkładu standardowego dla dowolnego rozkładu normalnego.
Gotowe modele najczęstszych sytuacji losowych.
Model pojedynczej próby z dwoma wynikami: sukces (1) z prawdopodobieństwem p lub porażka (0). Podstawowy klocek rozkładu dwumianowego.
Liczba sukcesów w n niezależnych próbach o stałym p. Składnik p^k(1−p)^{n−k} to prawdopodobieństwo konkretnego układu, a symbol Newtona liczy, na ile sposobów k sukcesów może się rozłożyć.
Liczba rzadkich zdarzeń w ustalonym czasie lub obszarze (np. zgłoszenia na infolinię). Przybliża rozkład dwumianowy, gdy n jest duże, a p małe, przy λ = np.
Symetryczny rozkład „dzwonowy”, do którego dąży suma wielu drobnych, niezależnych wpływów (twierdzenie graniczne). Opisany dwoma parametrami: położeniem m i rozproszeniem σ.
Rozkład normalny po standaryzacji (m=0, σ=1). Stablicowany raz na zawsze — każdy inny rozkład normalny sprowadzamy do niego przez standaryzację U = (X−m)/σ.
Most między próbą a populacją: jak zachowuje się średnia z próby i kiedy działa rozkład normalny.
Gdy populacja jest normalna i znamy σ, średnia z próby ma rozkład normalny o odchyleniu σ/√n (błąd standardowy). Po standaryzacji otrzymujemy rozkład N(0,1).
Gdy σ jest nieznane, zastępujemy je odchyleniem z próby s. Dodatkowa niepewność szacunku sprawia, że statystyka ma rozkład t-Studenta (cięższe ogony niż normalny), zbiegający do N(0,1) przy dużym n.
Dla dużej próby (n≥100) średnia ma w przybliżeniu rozkład normalny — niezależnie od kształtu rozkładu populacji. To dlatego rozkład normalny pojawia się w testach i przedziałach ufności tak często.
Szczególny przypadek CTG dla rozkładu zero-jedynkowego: udział sukcesów w dużej próbie ma w przybliżeniu rozkład normalny wokół prawdziwego p. Podstawa testów i przedziałów ufności dla proporcji.
Zamiast jednej liczby podajemy przedział, który z zadanym prawdopodobieństwem (1−α) zawiera nieznany parametr.
Wokół średniej z próby budujemy przedział o połowie szerokości równej błędowi standardowemu pomnożonemu przez wartość krytyczną u_α z rozkładu normalnego. Im większa próba, tym węższy przedział.
Jak wyżej, ale σ zastępujemy przez s z próby, a wartość krytyczną bierzemy z rozkładu t-Studenta o n−1 stopniach swobody (szerszy przedział odzwierciedla dodatkową niepewność). Dla dużej próby zamiast t można użyć u_α.
Dla dużej próby (n≥100) częstość ma w przybliżeniu rozkład normalny (de Moivre–Laplace), więc przedział budujemy analogicznie jak dla średniej, używając błędu standardowego proporcji.
Wynika z przekształcenia połowy szerokości przedziału ufności (d = u_α·σ/√n) względem n. Mówi, ilu obserwacji potrzeba, by błąd szacunku nie przekroczył d przy ufności 1−α.
Analogicznie do średniej, dla proporcji. Gdy p nie jest znane, w bezpiecznym wariancie przyjmuje się p=0,5 (maksymalizuje p(1−p), a więc i wymaganą liczebność).
Sprawdzamy, czy dane są zgodne z założeniem o parametrze populacji. Liczymy statystykę testową i porównujemy z wartością krytyczną.
Mierzymy, o ile błędów standardowych średnia z próby odbiega od wartości m₀ z hipotezy H₀. Duże |U| (powyżej u_α) oznacza, że taka różnica jest mało prawdopodobna przy prawdziwym H₀ — odrzucamy hipotezę.
Wariant z nieznanym σ (zastąpionym przez s). Statystyka ma rozkład t-Studenta o n−1 stopniach swobody. Dla dużej próby rozkład t praktycznie pokrywa się z N(0,1).
Dla dużej próby (n≥100) standaryzujemy częstość z próby względem p₀ z hipotezy, używając błędu standardowego liczonego przy założeniu prawdziwości H₀.
Porównuje wariancję z próby z hipotetyczną σ₀². Suma kwadratów standaryzowanych odchyleń ma rozkład chi-kwadrat o n−1 stopniach swobody (rozkład niesymetryczny, więc obszary krytyczne odczytujemy oddzielnie).
Porównujemy dwie zbiorowości: czy różnią się średnimi, proporcjami lub zmiennością.
Różnicę średnich standaryzujemy przez błąd standardowy różnicy (wariancje obu prób się sumują, bo próby są niezależne). H₀ zwykle mówi, że m₁=m₂, czyli oczekiwana różnica = 0.
Gdy σ są nieznane, ale jednakowe, łączymy informację o zmienności z obu prób w jedną wariancję połączoną s_p² (średnia ważona stopniami swobody). Statystyka ma rozkład t o v = n₁+n₂−2 stopniach swobody.
Przy dużych próbach z CTG korzystamy z rozkładu normalnego, a nieznane σ zastępujemy odchyleniami z prób — bez konieczności zakładania równości wariancji.
Dla par powiązanych (np. pomiar przed i po) analizujemy różnice R_i wewnątrz par. Sprowadza to problem do testu jednej próby dla średniej różnic — zwykle H₀: m_R = 0.
Pod H₀ (p₁=p₂) najlepszym oszacowaniem wspólnej proporcji jest częstość łączna p̂ z obu prób. Używamy jej do policzenia błędu standardowego różnicy. Wymaga dużych prób.
Iloraz wariancji dwóch prób. W liczniku umieszczamy większą wariancję, więc F≥1; jeśli próby pochodzą z populacji o równych wariancjach, iloraz powinien być bliski 1. Duże F (powyżej F_α) odrzuca H₀.
Porównanie średnich w wielu grupach naraz — przez rozłożenie całkowitej zmienności na część międzygrupową i wewnątrzgrupową.
Całkowite zróżnicowanie wyników (SKC) rozkłada się na zróżnicowanie między grupami (SKM — efekt podziału) i wewnątrz grup (SKW — zmienność losowa). Na tym podziale opiera się cały test.
Porównujemy przeciętną zmienność między grupami z przeciętną zmiennością wewnątrz grup (obie podzielone przez stopnie swobody → wariancje). Gdy grupy różnią się średnimi, licznik rośnie i F jest duże — odrzucamy H₀: m₁=…=m_r.
Dopasowujemy prostą opisującą zależność Y od X metodą najmniejszych kwadratów (MNK).
Zakładamy liniową zależność Y od X z losowym składnikiem ε (czynniki nieuwzględnione). Z danych szacujemy współczynniki α i β, otrzymując prostą teoretyczną ŷ.
MNK dobiera prostą tak, by suma kwadratów reszt była najmniejsza. Nachylenie wychodzi jako kowariancja podzielona przez wariancję X, a prosta zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ) — stąd wzór na β̂.
Średni kwadrat reszt (różnic między wartością empiryczną a teoretyczną). Dzielimy przez n−2, bo model „zużył” dwa stopnie swobody na oszacowanie α i β. Mierzy, jak mocno punkty odstają od prostej.
Udział zmienności Y wyjaśnionej przez model w całkowitej zmienności Y. R²∈[0,1]: im bliżej 1, tym lepiej prosta opisuje dane. Dla regresji prostej R² = r² (kwadrat korelacji).
Mierzą zmiany zjawisk w czasie — pojedynczych (indywidualne) i złożonych z wielu składników (agregatowe).
Stosunek wielkości z okresu badanego (1) do podstawowego (0). Indeks wartości rozkłada się na iloczyn indeksu cen i indeksu ilości, bo wartość = cena × ilość.
Przyrost absolutny to zwykła różnica poziomów, względny — ta różnica odniesiona do poziomu odniesienia (daje tempo zmian). Łańcuchowe porównują z okresem poprzednim, jednopodstawowe — ze stałą bazą.
Średnia geometryczna indeksów łańcuchowych — bo zmiany w czasie kumulują się mnożąco. Iloczyn indeksów łańcuchowych „teleskopuje się” do ilorazu poziomu końcowego i początkowego.
Stosunek łącznej wartości całego koszyka w okresie badanym do podstawowego. Zmieniają się jednocześnie ceny i ilości — dlatego dalej rozdziela się go na indeksy cen i ilości.
Żeby zmierzyć „czysty” wpływ cen, trzeba ustalić ilości (wagi). Laspeyres bierze ilości z okresu bazowego, Paasche — z badanego, a Fisher godzi oba podejścia ich średnią geometryczną.
Analogicznie do indeksu cen, lecz teraz „zamrażamy” ceny, by wyizolować wpływ zmian ilości. Wybór okresu cen (0 lub 1) odróżnia formułę Laspeyresa od Paaschego.
Indeks wartości zawsze daje się rozłożyć na indeks cen i indeks ilości — pod warunkiem dopasowania formuł (Laspeyres cen z Paaschem ilości i odwrotnie; Fisher z Fisherem). To spójnościowa kontrola obliczeń.
Tablice podają wartości rozkładów, których nie liczy się ręcznie. Kluczowe: poprawnie dobrać tablicę, wiersz (stopnie swobody) i kolumnę (poziom α).
Dla danego u (≥0) odczytujemy pole pod krzywą normalną na lewo od u — czyli prawdopodobieństwo, że U≤u. Wiersz wskazuje u do jednego miejsca po przecinku, kolumna dodaje drugą cyfrę (np. u=1,96 → wiersz 1,9, kolumna 0,06). Dla wartości ujemnych: Φ(−u) = 1 − Φ(u).
Działa „odwrotnie” do Tablicy 1: dla zadanego poziomu α odczytujemy wartość krytyczną u_α (np. α=0,05 → u_α=1,96). Używana w testach dwustronnych i przy budowie przedziałów ufności.
Wartość krytyczną t_{α,v} znajdujemy na przecięciu wiersza ze stopniami swobody v i kolumny z poziomem α. Im mniejsze v, tym większa wartość krytyczna (cięższe ogony). Ostatni wiersz (v=∞) pokrywa się z u_α z Tablicy 2.
Rozkład χ² jest niesymetryczny i dotyczy wartości dodatnich, dlatego tablica podaje wartości krytyczne osobno dla różnych α (także bliskich 1 — do lewego ogona). Wiersz to stopnie swobody v, kolumna to α.
Każda tablica odpowiada jednemu poziomowi α (stąd 4 oddzielne tablice). Wartość krytyczną odczytujemy na przecięciu kolumny v₁ (stopnie swobody licznika) i wiersza v₂ (mianownika). Stosowana w teście równości wariancji i w ANOVA.